Question

定义在R上的奇函数y=f（x），对任意不等的实数x₁，x₂都有[f（x₁）-f（x₂）]（x₁-x₂）＜0成立，若不等式f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0成立，则当1≤x≤4时，的取值范围为    ．

Answer 1

【答案】分析：先利用不等式（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0恒成立得到函数f（x）是定义在R上的减函数；再利用函数f（x）是定义在R上的奇函数得f（-x）=-f（x），二者相结合及不等式得（x-y）（x+y-2）≥0，结合的几何意义可求范围
解答：解：由不等式（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0恒成立得，函数f（x）是定义在R上的减函数
又因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以有函数f（-x）=-f（x）
∵f（x²-2x）+f（2y-y²）≤0
∴f（x²-2x）≤-f（2y-y²）=f（y²-2y）
∴x²-2x≥y²-2y即（x-y）（x+y-2）≥0，又1≤x≤4
∴或
作出不等式组表示的平面区域，如图所求的阴影部分，
令k=，则k的几何意义是在可行域内任取一点，与原点（0，0）连线的斜率
由可得C（4，4），由可得B（4，-2）
∵K_OC=K_OA=1，
结合图形可知，
故答案为[-，1]
点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的综合应用问题．关键点有两处：①判断出函数f（x）的单调性；②利用奇函数的性质得到函数f（-x）=-f（x）③明确目标函数的几何意义