Question

在△ABC中，内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，已知

3

sin2B=2sin²B
（Ⅰ）求角B的值
（Ⅱ）若a=2，A=

π

4

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）已知等式利用二倍角的正弦函数公式化简，根据sinB不为0求出tanB的值，即可确定出角B的值；
（Ⅱ）由A与B的度数求出C的度数，确定出sinC的值，利用正弦定理求出b的值，由a，b，sinC的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵

3

sin2B=2sin²B，
∴2

3

sinBcosB=2sin²B，
∴2

3

cosB=2sinB，即tanB=

3

，
则B=

π

3

；
（Ⅱ）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得，

2

sin π 4

=

b

sin π 3

，即b=

6

，
∵A=

π

4

，B=

π

3

，∴C=

5π

12

，即sinC=sin

5π

12

=sin（

π

6

+

π

4

）=

1

2

×

2

2

+

3

2

×

2

2

=

2 + 6

4

，
∴S=

1

2

absinC=

1

2

×2×

6

sin

5π

12

=

3+ 3

2

．

点评：此题考查了正弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．