Question

16．已知曲线C上任一点P到点F（1，0）的距离比它到直线l：x=-2的距离少1．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点Q（1，2）作两条倾斜角互补的直线与曲线C分别交于点A、B，试问：直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的定义可知点P的轨迹是以F为焦点、以直线l：x=-1为准线的抛物线；
（2）设出A，B的坐标，利用抛物线的方程，结合直线AQ，BQ倾斜角互补，得出y₁+y₂=-4，代入斜率公式计算k_AB．

解答 解：（1）因为P到点F（1，0）的距离比它到直线l：x=-2的距离少1
所以P到点F（1，0）的距离与它到直线l：x=-1的距离相等
所以由抛物线定义可知点P的轨迹是以F为焦点、以直线l：x=-1为准线的抛物线…（2分）
所以P=2，…，（4分）
所以曲线C的方程为y²=4x…，（5分）
（2）直线AB的斜率为定值-1，理由如下：…（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁²=4x₁，y₂²=4x₂…（7分）
因为直线AQ，BQ倾斜角互补
所以$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-1}$=0…（9分）
所以化简得y₁+y₂=-4…（10分）
所以k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-1 …（12分）

点评 本题考查了抛物线的定义与性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．