Question

已知a≥0，b≥0，a+b=1，则

a+ 1 2

+

b+ 1 2

取值范围是

[

2 + 6

2

，2]

．

Answer 1

分析：根据a和b的等量关系消去b，然后令

a+ 1 2

+

b+ 1 2

=

a+ 1 2

+

3 2 -a

=y，利用导数研究该函数在[0，1]上的最值，从而求出所求的值域．

解答：解：a≥0，b≥0，a+b=1，0≤a≤1，0≤b≤1，b=1-a

a+ 1 2

+

b+ 1 2

=

a+ 1 2

+

3 2 -a

=y
对y求导，y'=

1

2 a+ 1 2

-

1

2 3 2 -a

当y'=0时取得极值，即

1

2 a+ 1 2

=

1

2 3 2 -a

，解得a=

1

2

∈[0，1]，此时b=1-a=

1

2

，此时y=2
而端点值当x=0时y=

2 + 6

2

，当x=1时 y=

2 + 6

2

∴

a+ 1 2

+

b+ 1 2

的取值范围为：[

2 + 6

2

，2]
故答案为：[

2 + 6

2

，2]

点评：本题主要考查了函数的值域，同时考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．