Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC位于矩形AEDC中，B点为ED的中点，AC=AA₁=2AE=2．
（1）求异面直线AB₁与A₁D所成角的余弦值；
（2）求平面A₁B₁E与平面AEDC所成二面角大小的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz如图所示，则A₁（0，0，2），B₁（1，1，0），B（1，1，2），D（1，2，0），E（1，1，0）
从而

AB1

=（1，1，2），

A1D

=（1，2，-2）
∴cos＜

AB1

，

A1D

＞=-

6

18

又由两异面直线夹角的范围是（0，

π

2

]
∴异面直线AB₁与A₁D所成角的余弦值为

6

18

（II）设

n

=（x，y，z）为平面A₁B₁E的一个法向量
∵

A1E

=（1，0，-2），

A1B1

=

AB

=（1，1，0）
由

n • A1E =0 n • AB =0

，即

x-2z=0 x+y=0

令z=1，得平面A₁B₁E的一个法向量

n

=（2，-2，1）
又∵

m

=

AA1

=（0，0，2）是平面AEDC的一个法向量
由cos＜

m

，

n

＞=

2

2×3

=

1

3

得
平面A₁B₁E与平面AEDC所成二面角的余弦值为

1

3