Question

已知函数：f（x）=ax²+x-a-1，a∈R，g（x）=-2x²-3x-2a
（1）当a=2时，解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）＞g（x）对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由二次不等式的解法，即可得到；
（2）运用不等式恒成立问题，结合二次函数的图象和性质，即可解得范围．

解答： 解：（1）当a=2时，f（x）=2x²+x-3，
由f（x）＞0，即（x-1）（2x+3）＞0，
解得x＞1或x＜-

3

2

．
则解集为{x|x＞1或x＜-

3

2

}；
（2）若f（x）＞g（x）对一切x∈R恒成立，
即有（a+2）x²+4x+a-1＞0，
则当a=-2时，4x-3＞0，不恒成立；
当a＞-2，则△=16-4（a+2）（a-1）＜0，
解得a＞2或a＜-3．
则a的取值范围是（-∞，-3）∪（2，+∞）．

点评：本题考查二次不等式的解法，考查不等式的恒成立问题，注意运用二次函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．