Question

已知f1(x)=

1 2 -x 2x-1

0≤x≤ 1 2 1 2 ＜x≤1

，f_n（x）=f₁（f_n-1（x））（n=2，3，4…）则f₂（x）=0的解集为

{0，

3

4

}

；f₅（x）=f₃（x）的解集为

{x|0≤x≤

15

16

或x=1}

．

Answer 1

分析：利用复合函数的意义、递推数列即可得出．

解答：解：（1）如图所示，y=f₁（x），
已知f₂（x）=f₁（f₁（x））=0．
①当0≤x≤

1

2

时，0≤

1

2

-x≤

1

2

，f1(x)=

1

2

-x，f₁（f₁（x））=

1

2

-f1(x)=0，解得x=0．
②当

1

2

＜x≤1时，f₁（x）=2x-1，当0≤2x-1≤

1

2

时，即

1

2

≤x≤

3

4

时，f1(f1(x))=

1

2

-f1(x)=

1

2

-(2x-1)=0，解得x=

3

4

．
综上①②可知：f₂（x）=0的解集为{0，

3

4

}．
（2）①当0≤x≤

1

2

时，f1(x)=

1

2

-x，f₂（x）=f₁（f₁（x））=

1

2

-f1(x)=x，f₃（x）=f₁（f₂（x））=f₁（x），f₄（x）=f₁（f₃（x））f₁（f₁（x））=x，
f₅（x）=f₁（f₄（x））=f₁（x），因此f₅（x）=f₃（x）恒成立，故0≤x≤

1

2

．
②当

1

2

＜x≤1时，f₁（x）=2x-1，同①可得

1

2

＜x≤

15

16

，或x=1．
综上可知：f₅（x）=f₃（x）的解集为{x|0≤x≤

15

16

，或x=1}．
故答案分别为{0，

3

4

}，{x|0≤x≤

15

16

，或x=1}．

点评：正确理解复合函数的意义、递推数列等是解题的关键．