Question

【题目】已知椭圆C的中心在坐标原点，离心率 ，且其中一个焦点与抛物线 的焦点重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点S（ ，0）的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设椭圆的方程为 ，离心率 ， ，抛物线 的焦点为（0，1），所以 ，椭圆C的方程是x2+ =1
（2）解：若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1，若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是（x+ ）2+y2= ．

由 解得 即两圆相切于点（1，0）．

因此所求的点T如果存在，只能是（1，0）．

事实上，点T（1，0）就是所求的点．证明如下：

当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0）．

若直线l不垂直于x轴，可设直线l：y=k（x+ ）．

由 即（k2+2）x2+ k2x+ k2﹣2=0．

记点A（x1，y1），B（x2，y2），则

又因为 =（x1﹣1，y1）， =（x2﹣1，y2）， =（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（x1﹣1）（x2﹣1）+k2（x1+ ）（x2+ ）

=（k2+1）x1x2+（ k2﹣1）（x1+x2）+ k2+1

=（k2+1） +（ k2﹣1） + +1=0，

所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．

所以在坐标平面上存在一个定点T（1，0）满足条件

【解析】（1）先设处椭圆的标准方程，根据离心率求的a和c的关系，进而根据抛物线的焦点求得c，进而求得a，则b可得，进而求的椭圆的标准方程．（2）若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是x2+y2=1，若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是（x+ ）2+y2= ．联立两个圆的方程求得其交点的坐标，推断两圆相切，进而可判断因此所求的点T如果存在，只能是这个切点．证明时先看直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（1，0）．再看直线l不垂直于x轴，可设出直线方程，与圆方程联立消去y，记点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），根据伟大定理求得x1+x2和x1x2的表达式，代入 的表达式中，求得 =0，进而推断TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．