Question

已知命题p：对m∈[-1，1]，不等式a²-5a-3≥

m2+8

恒成立；命题q：不等式x²+ax+2＜0有解．若p是真命题，q是假命题，求a的取值范围．

Answer 1

分析：由已知可得

m2+8

∈[2

2

，3]，而由不等式a²-5a-3≥

m2+8

恒成立可得a²-5a-3≥3，解不等式可求a的范围，即P的范围；由不等式x²+ax+2＜0有解，可得△=a²-8＞0，可求q的范围，结合p真，q假可求

解答：解：∵m∈[-1，1]，
∴

m2+8

∈[2

2

，3]．
∵对m∈[-1，1]，不等式a²-5a-3≥

m2+8

恒成立，可得a²-5a-3≥3，
∴a≥6或a≤-1．
故命题p为真命题时，a≥6或a≤-1．
又命题q：不等式x²+ax+2＜0有解，
∴△=a²-8＞0，
∴a＞2

2

或a＜-2

2

．
从而命题q为假命题时，-2

2

≤a≤2

2

，
∴命题p为真命题，q为假命题时，a的取值范围为-2

2

≤a≤-1．

点评：本题主要考察了复合命题的真假判定的应用，解题的关键是根据已知条件分别求解p，q为真时的范围．