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已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为
6
,且经过点(1,
1
2
)
.若直线x+y-1=0与椭圆交于两点P,Q,求证:OP⊥OQ.
分析:由椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为
6
,椭圆经过点(1,
1
2
)
,推导出椭圆方程为
2x2
3
+
4y2
3
=1
.由此能够证明OP⊥OQ.
解答:解:∵椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为
6

∴设椭圆方程为
x2
3
2
+
y2
b2
=1,
∵椭圆经过点(1,
1
2
)

2
3
+
1
4
b2
=1
,解得b2=
3
4

∴椭圆方程为
2x2
3
+
4y2
3
=1

设P(x1,y1),Q(x2,y2),
x+y-1=0
2x2+4y2=3
,得6x2-8x+1=0,
∴x1+x2=
4
3
x1x2 =
1
6

∴y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2
=1-
4
3
+
1
6
=-
1
6

∴x1x2+y1y2=0.
∴OP⊥OQ.
点评:本题考查直线垂直的证明,具体涉及到椭圆方程的性质.解题时要认真审题,注意合理地进行等价转化.
练习册系列答案
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2
2
,且椭圆经过圆C:x2+y2-4x+2
2
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(1)求椭圆的方程;
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1011
,求椭圆的方程.

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2
),且离心率e满足:
2
3
,e,
4
3
成等比数列.
(1)求椭圆方程;
(2)直线y=x+1与椭圆交于点A,B.求△AOB的面积.

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