【题目】定义:由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”;如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆”,并将三角形的相似比称为椭圆的相似比,已知椭圆.
(1)若椭圆,判断与相似?如果相似,求出与的相似比;如果不相似,请说明理由;
(2)写出与椭圆相似且焦点在轴上,短半轴长为的椭圆的标准方程;若在椭圆上存在两点、关于直线对称,求实数的取值范围;
(3)如图:直线与两个“相似椭圆”和分别交于点和点,试在椭圆和椭圆上分别作出点和点(非椭圆顶点),使和组成以为相似比的两个相似三角形,写出具体作法.(不必证明)
【答案】(1)椭圆与相似,相似比为;(2);(3)见解析.
【解析】
(1)由题意椭圆与相似,由椭圆的特征三角形是腰长为4,底边长为的等腰三角形,能求出与的相似比.
(2)椭圆的方程为:,,设直线,点,,,,中点为,,由,得,由此利用韦达定理、根的判别式能求出实数的取值范围.
(3)法1:过原点作直线,交椭圆和椭圆于点和点,得到和即为所求相似三角形,且相似比为.
法2:过点、点分别做轴(或轴)的垂线,交椭圆和椭圆点和点,得到和即为所求相似三角形,且相似比为.
解:(1)椭圆与相似.
因为,
因为,
因为椭圆的特征三角形是腰长为4,底边长为的等腰三角形,
而椭圆的特征三角形是腰长为2,底边长为的等腰三角形,
因此两个等腰三角形相似,且相似比为.
(2)椭圆的方程为:,,
设直线,点,,,,中点为,,
则,,
则,,
中点在直线上,,,
即直线的方程为:,
由题意可知,直线与椭圆有两个不同的交点,
即方程有两个不同的实数解,
,即.
(3)作法1:过原点作直线,交椭圆和椭圆于点和点,
则和即为所求相似三角形,且相似比为.
作法2:过点、点分别做轴(或轴)的垂线,交椭圆和椭圆点和点,
则和即为所求相似三角形,且相似比为.
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【题目】如图所示,是某海湾旅游区的一角,其中,为了营造更加优美的旅游环境,旅游区管委会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和AC,其中是宽长廊,造价是元/米,是窄长廊,造价是元/米,两段长廊的总造价为120万元,同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台,并建水上直线通道(平台大小忽略不计),水上通道的造价是元/米.
(1) 若规划在三角形区域内开发水上游乐项目,要求的面积最大,那么和的长度分别为多少米?
(2) 在(1)的条件下,建直线通道还需要多少钱?
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【题目】2019年4月25日-27日,北京召开第二届“一带一路”国际高峰论坛,组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问,要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团,且国内媒体团不能连续提问,则不同的提问方式的种数为 ( )
A. 198B. 268C. 306D. 378
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【题目】某公司为了预测下月产品销售情况,找出了近7个月的产品销售量(单位:万件)的统计表:
月份代码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
销售量(万件) |
但其中数据污损不清,经查证,,.
(1)请用相关系数说明销售量与月份代码有很强的线性相关关系;
(2)求关于的回归方程(系数精确到0.01);
(3)公司经营期间的广告宣传费(单位:万元)(),每件产品的销售价为10元,预测第8个月的毛利润能否突破15万元,请说明理由.(毛利润等于销售金额减去广告宣传费)
参考公式及数据:,相关系数,当时认为两个变量有很强的线性相关关系,回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,.
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【题目】南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献,他在实践的基础上提出祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”. 其含义是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.如图,夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为,被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为,则“相等”是“总相等”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
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【题目】已知圆C:内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A、B两点.
(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程;
(2)当直线l的倾斜角为45时,求弦AB的长.
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