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(1)求证:若x>0,则ln(1+x)>
x
1+x

(2)若a,b>0求证:lna-lnb≥1-
b
a
分析:(1)欲证ln(1+x)>
x
1+x
,设f(x)=ln(1+x)-
x
1+x
利用导数证明出当x>0时f′(x)>0,在(0,+∞)上是增函数.结合f(x)>f(0)=0即得;
(2)欲证lna-lnb≥1-
b
a
,令f(x)=ln(1+x)-
x
1+x
,由(1),f(x)在x=0处取得最小值.即ln(1+x)-
x
1+x
≥0从而证得lna-lnb≥1-
b
a
解答:(1)f(x)=ln(1+x)-
x
1+x
,∴f′(x)=
x
(1+x) 2

x>0时f′(x)>0,在(0,+∞)上是增函数.
∴x>0时,f(x)>f(0)=0,∴ln(1+x)>
x
1+x

(2)令f(x)=ln(1+x)-
x
1+x

由(1),f(x)在x=0处取得最小值.
即ln(1+x)-
x
1+x
≥0
∴而lna-lnb-1+
b
a
=ln
a
b
+
b
a
-1=f(
a
b
-1)

∴lna-lnb-1+
b
a
≥0
即lna-lnb≥1-
b
a
点评:本小题主要考查导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的证法等基础知识,考查运算求解能力、化归与转化思想.属于基础题.
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4-
a
2
n
+an+12=2,数列{bn}满足bn=2n+1an
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π
2
)时,sinx<x
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π
4
,则a1+a2+…+an<π
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b
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(1)求证:若x>0,则ln(1+x)>
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