Question

1．如果我们定义[a，b，c]为二次函数y=ax²+bx+c的特征数，那么下面给出的特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数的一些结论：
①当m=-3时，函数图象的顶点坐标是（ $\frac{1}{3}$，$\frac{8}{3}$ ）；
②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于 $\frac{3}{2}$；
③当m＜0时，函数在x＞$\frac{1}{4}$ 时，y随x的增大而减小；
④当m≠0时，函数图象恒过同一个点．
其中正确的结论有（　　）

• A． ①②③④
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②④

Answer 1

分析 ①把m=-3代入[2m，1-m，-1-m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；
②令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；
③首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；
④根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答．

解答 解：因为函数y=ax²+bx+c的特征数为[2m，1-m，-1-m]；
①当m=-3时，y=-6x²+4x+2=-6（x-$\frac{1}{3}$）²+$\frac{8}{3}$，顶点坐标是（$\frac{1}{3}$，$\frac{8}{3}$）；此结论正确；
②当m＞0时，令y=0，有2mx²+（1-m）x+（-1-m）=0，解得x₁=1，x₂=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2m}$，
|x₂-x₁|=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2m}$＞$\frac{3}{2}$，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于$\frac{3}{2}$，此结论正确；
③当m＜0时，y=2mx²+（1-m）x+（-1-m） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：$\frac{m-1}{4m}$，在对称轴的右边y随x的增大而减小．因为当m＜0时，$\frac{m-1}{4m}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4m}$＞$\frac{1}{4}$，即对称轴在x=$\frac{1}{4}$右边，因此函数在x=$\frac{1}{4}$右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；
④当x=1时，y=2mx²+（1-m）x+（-1-m）=2m+（1-m）+（-1-m）=0 即对任意m，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m=0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点此结论正确．
根据上面的分析，①②④都是正确的，③是错误的．
故选：B．

点评 此题考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．