Question

【题目】已知函数f（x）=2lnx+x2﹣ax，a∈R．
（1）若函数y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若a=e，解不等式：f（x）＜2；
（3）求证：当a＞4时，函数y=f（x）只有一个零点．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）=2lnx+x2﹣ax，f′（x）= +2﹣a，

由题意，对任意的x＞0，都有f′（x）= +2﹣a≥0，

只要（ +2x）min≥a，由 +2x≥2 =4，当且仅当x=1时取等号，

则a≤4，

∴实数a的取值范围是（﹣∞，4]；

（2）当a=e，f（x）=2lnx+x2﹣ex，f′（x）= +2﹣e= ＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，

由f（e）=2lne+e2﹣e2=2，

∴f（x）＜2，则f（x）＜f（e），

∴0＜x＜e，

故不等式f（x）＜2的解集为（0，e）；

（3）证明：由f′（x）= +2﹣a= ，x∈（0，+∞），

g（x）=2x2﹣ax+2，当a＞4时，△=a2﹣16＞0，

∴g（x）=2x2﹣ax+2一定有两个零点，

设x1，x2（x1＜x2），x1x2=1，

0＜x1＜1＜x2，

则f（x）在区间（0，x1），（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，

g（x1）=2x12﹣ax1+2=0，

∴f（x1）=2lnx1+x12﹣ax1=2lnx1+x12﹣2，

由0＜x1＜1，则f（x1）=2lnx1+x12﹣ax1＜2ln1+1﹣2＜0，

∴f（x2）＜f（x1）＜0，

由f（x）=2lnx+x（x﹣a），则f（a）=2lna＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上只有一个零点．

【解析】（1）将函数在定义域上的单调性转化为导数函数的不等式，再利用基本不等式求得a的取值范围；（2）求得函数值为2的自变量，进而将函数值的大小比较利用函数的单调性变为自变量的大小比较，从而求得所给不等式的解集；（3）函数f（x）在（0，+∞）上只有一个零点，那么f（x）在定义域分成的两个连续的区间内分别大于0和小于0.
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．