Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣3x+alnx（a＞0）． （Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）设函数f（x）图象上任意一点的切线l的斜率为k，当k的最小值为1时，求此时切线l的方程．

Answer 1

【答案】解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞）， 当a=1时，f（x）=x2﹣3x+lnx，
．
由2x2﹣3x+1=0，得 ，
由2x2﹣3x+1＞0，得 ，或x＞1，∴f（x）的单调递增区间为 ，（1，+∞）．
由2x2﹣3x+1＜0，得 ，∴f（x）的单调递减区间为 ．
∴f（x）极大值为 ；极小值为f（1）=﹣2；
（II）由题意知 ，∴a=2．
此时 ，即 ，∴x=1，∴切点为（1，﹣2），
∴此时的切线l方程为：x﹣y﹣3=0
【解析】（Ⅰ）把a=1代入原函数解析式，求导后由导函数大于0求得原函数的增区间，由导函数小于0求得原函数的减区间，从而得到极值点并求得极值；（Ⅱ）求出原函数的导函数，由基本不等式求得导函数的最小值，由导函数的最小值为1求得a的值，再由取最小值时的x值求出切点坐标，由点斜式得到切线l的方程．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．