Question

【题目】已知函数f（x）= +x．
（1）若函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线经过点（0，﹣1），求a的值；
（2）是否存在负整数a，使函数f（x）的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a的值；若不存在，请说明理由；
（3）设a＞0，求证：函数f（x）既有极大值，又有极小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，f′（1）=1，f（1）=ae+1

∴函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：y﹣（ae+1）=x﹣1，又直线过点（0，﹣1）

∴﹣1﹣（ae+1）=﹣1，解得：a=﹣

（2）解：若a＜0，∵ （x≠0），

当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0恒成立，函数在（﹣∞，0）上无极值；

当x∈（0，1）时，f′（x）＞0恒成立，函数在（0，1）上无极值；

在x∈（1，+∞）时，令H（x）=aex（x﹣1）+x2，则H′（x）=（aex+2）x，

∵x∈（1，+∞），∴ex∈（e，+∞，）∵a为负整数∴a≤﹣1，∴aex≤ae≤﹣e

∴aex+2＜0，∴H′（x）＜0，∴H（x）在（1，+∞）上单调减，

又H（1）=1＞0，H（2）=ae2+4≤﹣e2+4＜0∴x0∈（1，2），使得H（x0）=0

且1＜x＜x0时，H′（x）＞0，即f′（x）＞0；x＞x0时，H′（x）＜0，即f′（x）＜0；

∴f（x）在x0处取得极大值 （*）

又H（x0）=aex0（x0﹣1）+x02=0，∴ 代入（*）得：

，∴不存在负整数a满足条件

（3）解：设g（x）=aex（x﹣1）+x2，则g′（x）=（aex+2）x，

因为a＞0，所以，当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；

当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；故g（x）至多两个零点．

又g（0）=﹣a＜0，g（1）=1＞0，所以存在x1∈（0，1），使g（x1）=0

再由g（x）在（0，+∞）上单调递增知，

当x∈（0，x1）时，g（x）＜0，故f′（x）= ，f（x）单调递减；

当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，故故f′（x）= ，f（x）单调递增；

所以函数f（x）在x1处取得极小值．

当x＜0时，ex＜1，且x﹣1＜0，

所以g（x）=aex（x﹣1）+x2＞a（x﹣1）+x2=x2+ax﹣a，

函数y=x2+ax﹣a是关于x的二次函数，必存在负实数t，使g（t）＞0，又g（0）=﹣a＜0，

故在（t，0）上存在x2，使g（x2）=0，

再由g（x）在（﹣∞，0）上单调递减知，

当x∈（﹣∞，x2）时，g（x）＞0，故f′（x）= ，f（x）单调递增；

当x∈（x2，0）时，g（x）＜0，故f′（x）= ，f（x）单调递减；

所以函数f（x）在x2处取得极大值．

综上，函数f（x）既有极大值，又有极小值

【解析】（1）第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．（2）根据可导函数极值的定义，找到极值点，求出极值，当极大值为正数时，从而判定负整数是否存在；（3）利用单调性与极值的关系，求证：既存在极大值，有存在极小值．
【考点精析】利用函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．