Question

【题目】已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，且f（2）=3，若对任意的m，n∈[﹣2，2]，m+n≠0，都有 ＞0．
（1）若f（2a﹣1）＜f（a2﹣2a+2），求实数a的取值范围；
（2）若不等式f（x）≤（5﹣2a）t+1对任意x∈[﹣2，2]和a∈[﹣1，2]都恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设任意x1，x2，满足﹣2x1＜x22，由题意可得

f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）= ＜0，

即f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在定义域[﹣2，2]上是增函数．

则f（2a﹣1）＜f（a2﹣2a+2）可化为：

﹣22a﹣1＜a2﹣2a+22，

解得0a＜1，

∴a的取值范围为[0，1）

（2）解：由（1）知，不等式f（x）（5﹣2a）t+1对任意x∈[﹣2，2]和a∈[﹣1，2]都恒成立，

fmax（x）（5﹣2a）t+1对任意的a∈[﹣1，2]都恒成立，

∴3（5﹣2a）t+1恒成立，

即2ta﹣5t+20对任意的a∈[﹣1，2]都恒成立，

令g（a）=2ta﹣5t+2，a∈[﹣1，2]，

则只需 ，

解得t2，

∴t的取值范围是[2，+∞）

【解析】（1）利用抽象函数的关系式及奇函数的定义判断函数f（x）的单调性，再根据本小题的函数不等关系得到关于a的不等式，特别需要注意必须考虑函数的自变量再定义域内；（2）本小题的关键是函数思想的应用，利用所给条件及所学知识将不等式的求值变为求函数的最值.
【考点精析】掌握函数奇偶性的性质是解答本题的根本，需要知道在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．