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向量 $数学公式$ ，函数 $数学公式$ ．
（1）指出函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）当 $数学公式$ 时，函数f（x）的最大值为 $数学公式$ ，求函数f（x）的最小值并求此时的x的值．

解：（1）∵向量 $\text{[math]}$ ，
又∵函数 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴f（x）的最小正周期是 $\text{[math]}$
其单调递增区间是 $\text{[math]}$
（2）由 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴当 $\text{[math]}$ 时，
$\text{[math]}$
∴当 $\text{[math]}$
， $\text{[math]}$ 时，
$\text{[math]}$
分析：（1）由已知中向量 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ．由向量数量积公式，及辅助角公式，我们将函数f（x）的解析式化为正弦型函数的形式，进而根据正弦型函数的性质，求出函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）已知中函数的解析式，结合正弦型函数的图象和性质，结合已知中当 $\text{[math]}$ 时，函数f（x）的最大值为 $\text{[math]}$ ，我们易求出构造关于参数t的方程，解方程求出t值，即可得到函数f（x）的最小值并求此时的x的值．
点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积，辅助角公式，正弦函数的定义域、值域、最小正周期、函数的单调性、函数的最值，是向量和三角函数的综合应用，求出正弦型函数的解析式，熟练掌握正弦型函数的图象和性质是解答本题的关键．

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科目：高中数学 来源： 题型：

设定义在区间[x₁，x₂]上的函数y=f（x）的图象为C，M是C上的任意一点，O为坐标原点，设向
量

=（x₁，f（x₁）），

=(x2， f(x2))，

=（x，y），当实数λ满足x=λ x₁+（1-λ） x₂时，记向量

=λ

+（1-λ）

．定义“函数y=f（x）在区间[x₁，x₂]上可在标准k下线性近似”是指“|

|≤k恒成立”，其中k是一个确定的正数．
（1）设函数 f（x）=x²在区间[0，1]上可在标准k下线性近似，求k的取值范围；
（2）求证：函数g（x）=lnx在区间[e^m，e^m+1]（m∈R）上可在标准k=

下线性近似．
（参考数据：e=2.718，ln（e-1）=0.541）

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科目：高中数学 来源： 题型：

设定义域为[x₁，x₂]的函数y=f（x）的图象为C，图象的两个端点分别为A、B，点O为坐标原点，点M是C上任意一点，向量

=（x₁，y₁），

=（x₂，y₂），

=（x，y），满足x=λx₁+（1-λ）x₂（0＜λ＜1），又有向量

=λ

+（1-λ）

，现定义“函数y=f（x）在[x₁，x₂]上可在标准k下线性近似”是指|

|≤k恒成立，其中k＞0，k为常数．根据上面的表述，给出下列结论：①A、B、N三点共线；②“函数y=5x²在[0，1]上可在标准1下线性近似”； ③“函数y=5x²在[0，1]上可在标准

下线性近似”．其中所有正确结论的序号为（　　）

A、①、②	B、②、③
C、①、③	D、①、②、③

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科目：高中数学 来源： 题型：

设定义域在[x₁，x₂]的函数y=f（x）的图象为C，C的端点分别为A、B，M是C上的任一点，向量

=(x1，y1)，

=(x2，y2)，

=(x，y)，若x=λx₁+（1-λ）x₂，记向量

=λ

+(1-λ)

，现定义“函数y=f（x）在[x₁，x₂]上可在标准K下线性近似”是指|

|≤K恒成立，其中K是一个正数．
（1）证明：0≤λ≤1（2）；
（3）请你给出一个标准K的范围，使得[0，1]上的函数y=x²（4）与y=x³（5）中有且只有一个可在标准K下线性近似．

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科目：高中数学 来源： 题型：

（2012•资阳三模）设定义域为[x₁，x₂]的函数y=f（x）的图象为C，图象的两个端点分别为A、B，点O为坐标原点，点M是C上任意一点，向量

=（x₁，y₁），

=（x₂，y₂），

=（x，y），满足x=λx₁+（1-λ）x₂（0＜λ＜1），又有向量

=λ

+（1-λ）

，现定义“函数y=f（x）在[x₁，x₂]上可在标准k下线性近似”是指|

|≤k恒成立，其中k＞0，k为常数．根据上面的表述，给出下列结论：
①A、B、N三点共线；
②直线MN的方向向量可以为

=（0，1）；
③“函数y=5x²在[0，1]上可在标准1下线性近似”；
④“函数y=5x²在[0，1]上可在标准

下线性近似”．
其中所有正确结论的番号为

①②④

．

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科目：高中数学 来源：2013届甘肃省兰州一中高三上学期期末考试理科数学试卷（带解析） 题型：解答题

（本小题满分12分）
设定义在区间上的函数的图象为，是上的任意一点，为坐标原点，设向量=，，，当实数λ满足x="λ" x₁+(1－λ) x₂时，记向量=λ+(1－λ)．定义“函数在区间上可在标准下线性近似”是指 “恒成立”，其中是一个确定的正数．
（1）求证：三点共线;
（2）设函数在区间[0，1]上可在标准下线性近似，求的取值范围；
（3）求证：函数在区间上可在标准下线性近似.
（参考数据：=2.718，）