Question

已知坐标平面上点M（x，y）与两个定点M₁（26，1），M₂（2，1）的距离之比等于5．
（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中的轨迹为C，过点A（-2，3）的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）直接利用距离的比，列出方程即可求点M的轨迹方程，然后说明轨迹是什么图形；
（2）设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线l的方程．

解答：解：（1）由题意坐标平面上点M（x，y）与两个定点M₁（26，1），M₂（2，1）的距离之比等于5，
得

|M1M|

|M2M|

=5.

(x-26)2+(y-1)2

(x-2)2+(y-1)2

=5，化简得x²+y²-2x-2y-23=0．
即（x-1）²+（y-1）²=25．
∴点M的轨迹方程是（x-1）²+（y-1）²=25，
所求轨迹是以（1，1）为圆心，以5为半径的圆．
（2）当直线l的斜率不存在时，过点A（-2，3）的直线l：x=-2，
此时过点A（-2，3）的直线l被圆所截得的线段的长为：2

52-32

=8，
∴l：x=-2符合题意．
当直线l的斜率存在时，设过点A（-2，3）的直线l的方程为y-3=k（x+2），即kx-y+2k+3=0，
圆心到l的距离d=

|3k+2|

k2+1

，
由题意，得(

|3k+2|

k2+1

)2+4²=5²，解得k=

5

12

．∴直线l的方程为

5

12

x-y+

23

6

=0．即5x-12y+46=0．
综上，直线l的方程为x=-2，或5x-12y+46=0．

点评：本题考查曲线轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．