Question

已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是（0，-

5

），离心率为

6

6

，左、右焦点分别为F₁和F₂．
（1）求椭圆方程；
（2）试探究椭圆上是否存在一点P，使

PF1

•

PF2

=0，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意，设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，求出a，b即可；
（2）利用三角形的面积推出矛盾，解析几何推方程无解，或者直接利用向量求解．

解答： 解：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1．
由已知，b=

5

，e=

c

a

=

6

6

．
e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

，∴1-

5

a2

=

1

6

．
解得a²=6；
∴所求椭圆方程为

x2

6

+

y2

5

=1．
（Ⅱ）解法一：假设存在一点P，使

PF1

•

PF2

=0，
∴

PF1

⊥

PF2

．
∴△PF₁F₂为直角三角形，
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4①
又∵|PF1|+|PF2|=2a=2

6

②
∴②²-①，得 
 2|PF₁|•|PF₂|=20，
∴

1

2

|PF1|•|PF2|=5，
即S△PF1F2=5，但S△PF1F2最大值为

5

，故矛盾，
∴不存在一点P，使

PF1

•

PF2

=0．
解法二：假设椭圆上存在一点P，使

PF1

•

PF2

=0，
则

PF1

⊥

PF2

，F₁（-1，0），F₂（1，0），
所以，点P在以F₁F₂为直径的圆x²+y²=1上，
由

x2 6 + y2 5 =1 x2+y2=1

得x²=-24，这是不可能的，
所以椭圆上不存在点P，使

PF1

•

PF2

=0，
解法三：假设椭圆上存在一点P（x，y），使

PF1

•

PF2

=0，
则

PF1

=(-1-x，-y)，

PF2

=(1-x，-y)，
由

PF1

•

PF2

=0得x²+y²=1，
由

x2 6 + y2 5 =1 x2+y2=1

得x²=-24，这是不可能的，
所以椭圆上不存在点P，使

PF1

•

PF2

=0．

点评：本题考查了椭圆的定义及椭圆中线的关系，同时考查了向量的应用，属于中档题．