【题目】函数f(x)是定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,当x>0时, .
(1)求f(x)的解析式;
(2)讨论函数f(x)的单调性,并求f(x)的值域.
【答案】
(1)解:∵f(x)在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上是偶函数,
∴f(﹣x)=f(x)
设x<0,则﹣x>0,f(﹣x)=
∴
∴
(2)解:当x>0时, ,
令f'(x)=0x=2
∴当x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)是减函数,
x∈(2,+∞)时,f'(0)>0,f(x)是增函数,
且函数f(x)在此区间上有极小值y极小=f(2)=5
又f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称
∴x<0时,f(x)的增区间为(﹣2,0),减区间为(﹣∞,﹣2)
综上所述,f(x)在区间(﹣∞,﹣2)和(0,2)上是减函数
在区间(﹣2,0)和(2,+∞)上是增函数,值域为f(x)∈[5,+∞)
【解析】①先由奇偶性寻求f(﹣x)与f(x)的关系,再设x<0,则﹣x>0,按照求函数值求解;②用导数判断单调性,确定单调区间求得值域.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用函数奇偶性的性质和奇偶性与单调性的综合的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数;奇函数的加减仍为奇函数;奇数个奇函数的乘除认为奇函数;偶数个奇函数的乘除为偶函数;一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇;奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.
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【题目】已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.
(1)求a,b的值;
(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.
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【题目】为了解某市的交通状况,现对其6条道路进行评估,得分分别为:5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表:
评估的平均得分 | |||
全市的总体交通状况等级 | 不合格 | 合格 | 优秀 |
(1)求本次评估的平均得分,并参照上表估计该市的总体交通状况等级;
(2)用简单随机抽样方法从这条道路中抽取条,它们的得分组成一个样本,求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过的概率.
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【题目】设甲、乙、丙三人进行围棋比赛,每局两人参加,没有平局.在一局比赛中,甲胜乙的概率为 ,甲胜丙的概率为 ,乙胜丙的概率为 .比赛顺序为:首先由甲和乙进行第一局的比赛,再由获胜者与未参加比赛的选手进行第二局的比赛,依此类推,在比赛中,有选手获胜满两局就取得比赛的胜利,比赛结束.
(1)求只进行了三局比赛,比赛就结束的概率;
(2)记从比赛开始到比赛结束所需比赛的局数为ξ,求ξ的概率分布列和数学期望Eξ.
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【题目】海南中学对高二学生进行心理障碍测试得到如下列联表:
焦虑 | 说谎 | 懒惰 | 总计 | |
女生 | 5 | 10 | 15 | 30 |
男生 | 20 | 10 | 50 | 80 |
总计 | 25 | 20 | 65 | 110 |
试说明在这三种心理障碍中哪一种与性别关系最大?
参考数据:K2=
P(K2≥k) | 0.5 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.535 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】若偶函数f(x)在(﹣∞,﹣1]上是增函数,则下列关系式中成立的是( )
A.f(﹣ )<f(﹣1)<f(2)
B.f(﹣1)<f(﹣ )<f(2)
C.f(2)<f(﹣1)<f(﹣ )
D.f(2)<f(﹣ )<f(﹣1)
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【题目】已知函数, 为自然对数的底数.
(I)若曲线在点处的切线平行于轴,求的值;
(II)求函数的极值;
(III)当时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.
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【题目】函数f(x)的定义域为(﹣∞,a)∪(a,+∞),f(x)≥0的解集为M,f(x)<0的解集为N,则下列结论正确的是( )
A.M=CRN
B.CRM∩CRN=
C.M∪N=R
D.CRM∪CRN=R
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【题目】设函数 ,区间M=[a,b](a<b),集合N={y|y=f(x),x∈M},则使M=N成立的实数对(a,b)有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.无数多个
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