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    已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10.

    (1)求证:++≥5.

    (2)求+的最小值.

     

    (1)见解析 (2) 18

    【解析】(1)根据柯西不等式,得

    [(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)](++)≥(5x+4y+3z)2,

    当且仅当==,

    即x=,y=,z=时取等号.

    因为5x+4y+3z=10,

    所以++≥=5.

    (2)根据平均值不等式,得

    +≥2=2·,

    当且仅当x2=y2+z2时,等号成立.

    根据柯西不等式,得

    (x2+y2+z2)(52+42+32)≥(5x+4y+3z)2=100,

    即x2+y2+z2≥2,当且仅当==时,

    等号成立.

    综上,+≥2·32=18.

    当且仅当x=1,y=,z=时,等号成立.

    所以+的最小值为18.

     

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