Question

已知在等差数列{a_n}中，a₁＝31，S_n是它的前n项和，S₁₀＝S₂₂.
(1)求S_n；
(2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值．

Answer 1

（1）32n－n²（2）n＝16时，S_n有最大值256.

(1)∵S₁₀＝a₁＋a₂＋…＋a₁₀，S₂₂＝a₁＋a₂＋…＋a₂₂，S₁₀＝S₂₂，∴a₁₁＋a₁₂＋…＋a₂₂＝0，＝0，即a₁₁＋a₂₂＝2a₁＋31d＝0.又a₁＝31，∴d＝－2，
∴S_n＝na₁＋d＝31n－n(n－1)＝32n－n².
(2)解法1：由(1)知S_n＝32n－n²，∴当n＝16时，S_n有最大值，S_n的最大值是256.
解法2：由S_n＝32n－n²＝n(32－n)，欲使S_n有最大值，应有1<n<32，从而S_n≤＝256，当且仅当n＝32－n，即n＝16时，S_n有最大值256.