Question

【题目】（本小题满分1６分）平面直角坐标系xoy中，直线截以原点O为圆心的圆所得的弦长为

（1）求圆O的方程；

（2）若直线与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线的方程；

（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于ｘ轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于ｘ轴于点（ｍ，０）和（ｎ，０），问ｍｎ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）x2＋y2＝2.（2）x＋y－2＝0.（3）见解析

【解析】

（1）求出O点到直线x﹣y+1=0的距离，进而可求圆O的半径，即可得到圆O的方程；（2）设直线l的方程，利用直线l与圆O相切，及基本不等式，可求DE长最小时，直线l的方程；（3）设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1）， ，，求出直线MP、NP分别与x轴的交点，进而可求mn的值．

（1）因为O到直线x－y＋1＝0的距离为 ，

所以圆O的半径r＝＝，故圆O的方程为x2＋y2＝2.

（2）设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，即bx＋ay－ab＝0，

由直线l与圆O相切，得＝，即＝，

所以DE2＝a2＋b2＝2(a2＋b2)（）

＝2≥2

＝8(当且仅当a＝b＝2时等号成立)，

此时直线l的方程为x＋y－2＝0.

（3）设M(x1，y1)，P(x2，y2)，

则N(x1，－y1)，x＋y＝2，x＋y＝2，

直线MP与x轴的交点为，即m＝ .

直线NP与x轴的交点为，即n＝.

所以mn＝ ＝

＝＝＝2，

故mn＝2为定值．