Question

已知椭圆的两个焦点，过F₁且与坐标轴不平行的直线l₁与椭圆相交于M，N两点，如果△MNF₂的周长等于8．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点（1，0）的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（I）由题意知c=，4a=8，∴a=2，b=1
∴椭圆的方程为=1
（II）当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=k（x-1）消去y得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
则由韦达定理得则
∴=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+y₁y₂
=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+k²（x₁-1）（x₂-1）
=
=要使上式为定值须，解得∴为定值当直线l的斜率不存在时由可得∴=综上所述当时，为定值
分析：（I）由题意知c=，4a=8，由此能得到椭圆的方程．
（II）当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=k（x-1）消去y得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由韦达定理结合向量的运算法则能够导出为定值．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，合理地进行等价转化，注意韦达定理和向量知识的合理运用．