Question

4．在Rt△ABC中，两直角边分别为a，b，设h为斜边上的高，则$\frac{1}{h^2}$=$\frac{1}{a^2}$+$\frac{1}{b^2}$，类比此性质，如图，在四面体P-ABC 中，若PA，PB，PC两两垂直，且长度分别为a，b，c，设棱锥底面ABC上的高为h，则得到的正确结论为$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$．

Answer 1

分析 立体几何中的类比推理主要是基本元素之间的类比：平面?空间，点?点或直线，直线?直线或平面，平面图形?平面图形或立体图形，故本题由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．

解答 解：∵PA、PB、PC两两互相垂直，
∴PA⊥平面PBC．
设PD在平面PBC内部，且PD⊥BC，
由已知有：PD=$\frac{bc}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}$，h=PO=$\frac{a•PD}{\sqrt{{a}^{2}+P{D}^{2}}}$，
∴h²=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}+{b}^{2}{c}^{2}+{c}^{2}{a}^{2}}$，即 $\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$．
故答案为：$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$．

点评 类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．其思维过程大致是：观察、比较 联想、类推 猜测新的结论．