【题目】函数, (是自然对数的底数, ).
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)已知表示不超过的最大整数,如, ,若对任意,都存在,使得成立,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ) .
【解析】试题分析:
(Ⅰ)首先得出,求出导函数,由确定增区间, 确定减区间,从而确定出的最小值为,而,由此不等式得证;
(Ⅱ)此问题首先进行转化,当时, 的最小值为,当时, 的最小值为,依题意有,而由(Ⅰ)知=0,因此有,下面就是求出的最小值,即可得出的范围,为此可求的导数.为了确定的正负,令,再求导,
而当时, , , 在上是增函数,所以.下面对按正负分类讨论:
A①, 在上是增函数,最小值为;②,即时,因为在上是增函数,且,因此在上有一个零点,记为,
,即,这样有当时, ,即;当时, ,即,所以, 在上是减函数,在上是增函数,所以,又,所以,所以,所以.由,可令,由此求出的范围,即此时的范围,综合以上两点可得.
试题解析:
(Ⅰ)().
当时, ,当时, ,
即在上单调递减,在上单调递增,
所以,当时, 取得最小值,最小值为,
所以,
又,且当时等号成立,
所以, .
(Ⅱ)记当时, 的最小值为,当时, 的最小值为,
依题意有,
由(Ⅰ)知,所以,则有,
.
令, ,
而当时, ,所以,
所以在上是增函数,所以.
①当,即时, 恒成立,即,
所以在上是增函数,所以,
依题意有,解得,
所以.
②当,即时,因为在上是增函数,且,
若,即,则,
所以,使得,即,
且当时, ,即;当时, ,即,
所以, 在上是减函数,在上是增函数,
所以,
又,所以,
所以,所以.
由,可令,
,当时, ,所以在上是增函数,
所以当时, ,即,
所以.
综上,所求实数的取值范围是.
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【题目】在△ABC中,(1)已知a=,b=,B=45°,求A、C、c;
(2)已知sin A∶sin B∶sin C=(+1)∶(-1)∶,求最大角.
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【题目】已知圆C经过点,且圆心在直线上,又直线与圆C交于P,Q两点.
(1)求圆C的方程;
(2)若,求实数的值;
(3)过点作直线,且交圆C于M,N两点,求四边形的面积的最大值.
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【题目】在矩形ABCD中,边AB、AD的长分别为2,1,若M,N分别是边BC、CD上的点,且满足 = =λ.
(1)当λ= 时,求向量 和 夹角的余弦值;
(2)求 的取值范围.
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【题目】某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制了频率分布直方图(如图所示),规定80分及以上者晋级成功,否则晋级失败(满分为100分).
(1)求图中的值;
(2)估计该次考试的平均分(同一组中的数据用该组的区间中点值代表);
(3)根据已知条件完成下面列联表,并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关?
(参考公式: ,其中)
0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
0.780 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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【题目】据统计,某物流公司每天的业务中,从甲地到乙地的可配送的货物量的频率分布直方图,如图所示,将频率视为概率,回答以下问题.
(1)求该物流公司每天从甲地到乙地平均可配送的货物量;
(2)该物流公司拟购置货车专门运营从甲地到乙地的货物,一辆货车每天只能运营一趟,每辆车每
趟最多只能装载40 件货物,满载发车,否则不发车。若发车,则每辆车每趟可获利1000 元;若未发车,
则每辆车每天平均亏损200 元。为使该物流公司此项业务的营业利润最大,该物流公司应该购置几辆货
车?
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【题目】已知为抛物线的焦点,过的直线与交于两点, 为中点,点到轴的距离为, .
(1)求的值;
(2)过分别作的两条切线, .请选择轴中的一条,比较到该轴的距离.
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