Question

已知椭圆的离心率为，直线l过点A（4，0），B（0，2），且与椭圆C相切于点P．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（0，2）的动直线与曲线相交于不同的两点M、N，曲线E在点M、N处的切线交于点H．试问：点H是否在某一定直线上，若是，试求出定直线的方程；否则，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题得过两点A（4，0），B（0，2）直线l的方程为x+2y-4=0．…（1分）
因为，所以a=2c，．
设椭圆方程为，
由消去x得，4y²-12y+12-3c²=0．
又因为直线l与椭圆C相切，所以△=12²-4×4（12-3c²）=0，解得c²=1．
所以椭圆方程为．…（4分）
（Ⅱ）直线m的斜率存在，设直线m的方程为y=kx+2，…（5分）
由，消去y，整理得（k-1）x²+2x-2=0．…（6分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由题意知，解得．…（8分）
由知过点M的切线方程为
过点N的切线方程为…（10分）
两直线的交点坐标，
所以点H所在的直线方程为x=2．…（13分）
分析：（Ⅰ）由截距式确定直线l的方程，与椭圆方程联立，利用直线l与椭圆C相切，确定c的值，从而可得椭圆方程；
（Ⅱ）设直线m的方程与曲线联立，消去y，再求得过点M、N的切线方程，从而可得两直线的交点坐标，即可得到结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与曲线的位置关系，考查切线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．