Question

已知F₁，F₂是两个定点，椭圆C₁和等轴双曲线C₂都以F₁，F₂为焦点．点P是C₁和C₂的一个交点，且

PF1

•

PF2

=0，那么椭圆C₁的离心率为（　　）

• A．

  6

  3

• B．

  3

  2

• C．

  2

  2

• D．

  2 2

  3

Answer 1

分析：设等轴双曲线的半实轴长为

c

2

，F₁P=x，F₂P=y，不妨设x＞y，通过双曲线的定义，得到一个方程，利用

PF1

•

PF2

=0得到圆的一个方程，求出x，y；通过椭圆的定义，求出椭圆的离心率．

解答：解：设等轴双曲线的半实轴长为

c

2

，F₁P=x，F₂P=y，不妨设x＞y，则x-y=

2c

2

…①，
又

PF1

•

PF2

=0，∴∠F₁PF₂=90°，所以x²+y²=（2c）²，…②，解①②得x=

3 +1

2

c，y=

3 -1

2

c，
再根椐椭圆定义，2a=x+y=

2 3

2

c，（2a表示椭圆长轴长），得e=

c

a

=

6

3

．
故选A．

点评：本题是中档题，考查椭圆与双曲线的关系，注意椭圆与双曲线的定义的应用是解题的关键，考查计算能力．