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已知x=
1
2
f(x)=2x-
b
x
+lnx
的一个极值点.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调增区间;
(Ⅲ)设g(x)=f(x)-
1
x
,试问过点(2,5)可作多少条曲线y=g(x)的切线?为什么?
(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞).
f′(x)=2+
b
x2
+
1
x
,∵x=
1
2
f(x)=2x-
b
x
+lnx
的一个极值点,
∴f′(
1
2
)=0,即 2+4b+2=0,得b=-1,当b=-1时,f′(x)=
(2x-1)(x+1)
x2

当0<x<
1
2
时,f′(x)<0;当x>
1
2
时,f′(x)>0,所以x=
1
2
为f(x)的极小值点,
所以b=-1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f′(x)=
(2x-1)(x+1)
x2
,令f′(x)>0得x>
1
2

∴函数f(x)的单调增区间为[
1
2
,+∞)

(Ⅲ)g(x)=f(x)-
1
x
=2x+lnx,
设切点坐标为(x0,2x0+lnx0),则斜率为2+
1
x0
,切线方程为:y-2x0-lnx0=(2+
1
x0
)(x-x0).
∴又切线过点(2,5),∴5-2x0-lnx0=(2+
1
x0
)(2-x0),
lnx0+
2
x 0
-2=0
,令h(x)=lnx+
2
x
-2

则h′(x)=
1
x
-
2
x
=0,得x=2.
h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增又∵h(
1
2
)=2-ln2>0
,h(2)=ln2-1<0,h(e2)=
2
e2
>0

∴h(x)与x轴有两个交点,
故过点(2,5)可作2条曲线y=g(x)的切线.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知f(x)为二次函数且二次项系数大于
1
2
,不等式f(x)<2x的解集为(-1,2),且方程f(x)+
9
4
=0有两个相等的实根,若α,β是方程f(x)=0的两个根(α>β),f'(x)是f(x)的导数,设a1=3,an+1=an-
f(an)
f′(an)
(n∈N*)

(I)求函数f(x)的解析式;
(II)记bn=lg
an
an
(n∈N*),求数列{bn}
的前n项和.

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科目:高中数学 来源: 题型:

给出下列六个结论其中正确的序号是
.(填上所有正确结论的序号)
①已知ln2=a,ln3=b,则用含a,b的代数式表示为:log32=
b
a

②若函数f(x)的定义域为[0,2],则函数f(2x)的定义域为[0,4];
③函数y=loga(x-2)+3,(a>0,a≠1)恒过定点(2,4);
④若(
1
2
)x-2≤1
,则{x|x≤2};
⑤若指数函数y=(a2-3a+1)ax,则a=3;
⑥若函数f(
x
)=x+1
,则f(x)=x2+2.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知x=-
1
2
是函数f(x)=ln(x+1)-x+
a
2
x2的一个极值点.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知x=
1
2
f(x)=2x-
b
x
+lnx
的一个极值点.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调增区间;
(Ⅲ)设g(x)=f(x)-
1
x
,试问过点(2,5)可作多少条曲线y=g(x)的切线?为什么?

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