Question

已知曲线y=lnx在点P（1，0）处的切线为l，直线l'过点P且垂直于直线l，则直线l'与两坐标轴围成的三角形的面积是

1. A.
   4
2. B.
   2
3. C.
   1
4. D.
   

Answer 1

D
分析：求出曲线方程的导函数，把切点P的横坐标代入求出导函数值为切线l的斜率，然后由直线l的斜率求出直线l'的斜率，由点P的坐标和求出的斜率写出直线l'的方程，分别令x=0与y=0求出直线和两坐标轴的截距，利用三角形的面积公式即可求出直线l'与两坐标轴围成的三角形的面积．
解答：求导得：y′=，把x=1代入导函数得：y′_|x=1=1，
∴切线l的斜率k=1，故直线l′的斜率为-1，又P（1，0），
∴直线l′的方程为y=-1（x-1），即x+y-1=0，
令x=0，得到y=1；令y=0，得到x=1，
则则直线l'与两坐标轴围成的三角形的面积S=×1×1=．
故选D
点评：此题考查了两直线垂直时斜率满足的关系，利用导数研究曲线上某点的切线方程．要求学生理解切点的横坐标代入导函数得到的导函数值为切线方程的斜率，同时掌握两直线垂直时斜率的乘积为-1．