Question

设数列{a_n}满足a_n＞0，（n∈N⁺），其前n项和为S_n，且
（1）求a_n+1与S_n之间的关系，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）令，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用，可得，两式相减，即可求得，再写一式，两式相减，即可证得数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）根据，可得，从而可证=＜，即可得出结论．
解答：解：（1）由已知得，当n=1时，a₁³=S₁²=a₁²，
又∵a_n＞0，∴a₁=1
∵①，②
②-①
∵a_n+1＞0，∴
∴
∴①
当n≥2时，②
①-②（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=1（n≥2）
故数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列．
∴a_n=n（n∈N^*）
（2）∵
∴
∵，∴=＜
∴
点评：本题考查的是数列与不等式的综合题，考查裂项法求和，考查放缩法的运用．在解答的过程当中充分体现了数列通项与前n项和的知识．