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9.已知x∈R,符号[x]表示不超过x的最大整数,若函数f(x)=$\frac{[x]}{x}$(x>0),则给出以下四个结论正确的是(  )
A.函数f(x)的值域为[0,1]
B.函数f(x)的图象是一条曲线
C.函数f(x)是(0,+∞)上的减函数
D.函数g(x)=f(x)-a有且仅有3个零点时$\frac{3}{4}$<a≤$\frac{4}{5}$

分析 (x)=$\frac{[x]}{x}$(x>0)的值域不包含(0,$\frac{1}{2}$],由此能判断A的正误;函数f(x)的图象是不连续的线段,由此能判断B和C的正误;在D中:由题意可得方程$\frac{|x|}{x}$=a在(0,+∞)上有且仅有3个实数根,且a≥0,[x]=1,2,3,分别求出[x]=1,2,3,4时,a的范围,从而确定满足条件的a的范围.

解答 解:在A中,f(x)=$\frac{[x]}{x}$(x>0)的值域不包含(0,$\frac{1}{2}$],故A不正确;
在B中,函数f(x)的图象是不连续的线段,故B不正确;
在C中,函数f(x)的图象是不连续的线段,故C不正确;
在D中,∵$f(x)=\frac{[x]}{x}-a,x>0$有且仅有3个零点,∴方程$\frac{[x]}{x}$=a在(0,+∞)上有且仅有3个实数根,且a≥0,
∵x>0,∴[x]≥0,若[x]=0,则$\frac{[x]}{x}$=0;
若[x]≥1,∵[x]≤x<[x]+1,∴$\frac{[x]}{[x]+1}<\frac{[x]}{x}≤1$,∴$\frac{[x]}{[x]+1}<a≤1$,
且$\frac{[x]}{[x]+1}$随[x]的增大而增大,
故不同的[x]对应不同的a值,故有[x]=1,2,3,
若[x]=1,则有$\frac{1}{2}<\frac{[x]}{x}≤1$;若[x]=2,则有$\frac{2}{3}<\frac{[x]}{x}≤1$;若[x]=3,则有$\frac{3}{4}<\frac{[x]}{x}≤1$;
若[x]=4,则有$\frac{4}{5}$<$\frac{[x]}{x}$≤1.
∴$\frac{3}{4}<a≤\frac{4}{5}$.故D正确.
故选:D.

点评 本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意函数的性质的合理运用.

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