Question

（2012•杭州二模）已知扇形的圆心角为2θ(0＜θ＜

π

4

)，半径为r，分别按图1，图2作扇形的内接矩形，若按图1作出的矩形面积的最大值为

1

2

r²tanθ，则按图2作出的矩形面积的最大值 为

r²tan

θ

2

．

Answer 1

分析：将图二可拆分成两个图一的形式，可以类比得到结论．图一角是2α，图二拆分后角是α，故矩形面积的最大值为

1

2

r²tan

θ

2

，由此可得结论．

解答：解：图一，设∠MOQ=x，则MQ=rsinx
在△OMN中，

MN

sin(2α-x)

=

r

sin(180°-2α)

，∴MN=

rsin(2α-x)

sin2α

∴矩形面积S=

r2sin(2α-x) sinx

sin2α

=

r2

2sin2α

[cos(2x-2α)-cos2α]≤

r2

2sin2α

[1-cos2α]=

1

2

r²tanα
当且仅当x=α时，取得最大值，故图一矩形面积的最大值为

1

2

r²tanθ，图二可拆分成两个，
图一角是2α，图二拆分后角是α，故根据图1得出的结论，可得矩形面积的最大值为

1

2

r²tan

θ

2

，
而图二时由两个这样的图形组成，所以两个则为r²tan

θ

2

．
故答案为：r²tan

θ

2

点评：本题考查扇形内接矩形面积问题，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是发现两个图之间的联系，利用已有的结论进行解题．