Question

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球半径为4，则△AA₁B，△ABD，△AA₁D的面积之和的最大值为

 

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Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：设长方体长，宽，高分别为a，b，c．由已知可得长方体体对角线长为8，即a²+b²+c²=8，由柯西不等式公式有（a²+b²+c²）（1+1+1）≥（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac，可得ab+bc+ac≤8，即可求出△AA₁B，△ABD，△AA₁D的面积之和的最大值．

解答： 解：设长方体长，宽，高分别为a，b，c．由已知可得长方体体对角线长为8，即a²+b²+c²=8，
由柯西不等式公式有（a²+b²+c²）（1+1+1）≥（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac，
即a²+b²+c²≥ab+bc+ac，即ab+bc+ac≤8，
又△AA₁B，△ABD，△AA₁D的面积之和为S=

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（ab+bc+ac）≤4，
所以△AA₁B，△ABD，△AA₁D的面积之和的最大值为4．

点评：本题考查求△AA₁B，△ABD，△AA₁D的面积之和的最大值，考查柯西不等式公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．