Question

如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中点．将△ABE沿AE折起后如图2，使二面角B﹣AE﹣C成直二面角，设F是CD的中点，P是棱BC的中点．
（1）求证：AE⊥BD；
（2）求证：平面PEF⊥平面AECD；
（3）判断DE能否垂直于平面ABC，并说明理由。

Answer 1

（1）证明：设AE中点为M，
∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中点，
∴△ABE与△ADE都是等边三角形．
∴BM⊥AE，DM⊥AE．
∵BM∩DM=M，BM、DM平面BDM，
∴AE⊥平面BDM．
∵BD平面BDM，
∴AE⊥BD．
（2）证明：连接CM交EF于点N，
∵ME∥FC，ME=FC，
∴四边形MECF是平行四边形，
∴N是线段CM的中点．
∵P是BC的中点，
∴PN∥BM．
∵BM⊥平面AECD，
∴PN⊥平面AECD．
又∵PN平面PEF，
∴平面PEF⊥平面AECD．
（3）解：DE与平面ABC不垂直．
证明：假设DE⊥平面ABC，则DE⊥AB，
∵BM⊥平面AECD，∴BM⊥DE．
∵AB∩BM=B，AB、BM平面ABE，
∴DE⊥平面ABE．
∵AE平面ABE，
∴DE⊥AE，这与∠AED=60°矛盾．
∴DE与平面ABC不垂直．