Question

9．已知x，y∈（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）且xy=-1，则s=$\frac{3}{3-{x}^{2}}$+$\frac{12}{12-{y}^{2}}$的最小值为$\frac{12}{5}$．

Answer 1

分析 先将关于s的表达式整理，再根据xy=1，得到s=1+$\frac{35}{37-1{2x}^{2}-{3y}^{2}}$，由基本不等式的性质求出即可．

解答 解：s=$\frac{3}{3-{x}^{2}}$+$\frac{12}{12-{y}^{2}}$
=$\frac{3（12{-y}^{2}）+12（3{-x}^{2}）}{（3{-x}^{2}）（12{-y}^{2}）}$
=$\frac{72-1{2x}^{2}-{3y}^{2}}{36-1{2x}^{2}-{3y}^{2}{{+x}^{2}y}^{2}}$，
∵xy=-1，∴x²y²=1，
∴s=$\frac{72-1{2x}^{2}-{3y}^{2}}{37-1{2x}^{2}-{3y}^{2}}$
=1+$\frac{35}{37-1{2x}^{2}-{3y}^{2}}$，
∵12x²+3y²≥2$\sqrt{3{{6x}^{2}y}^{2}}$=12，
∴s≥1+$\frac{35}{37-12}$=$\frac{12}{5}$，
当且仅当“12x²=3y²”即x=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，y=$\sqrt{2}$或x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，y=-$\sqrt{2}$时“=”成立，
故答案为：$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了函数的最值问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题．