【题目】已知函数。
(1)若函数在处的切线垂直于轴,求实数的值;
(2)在(1)的条件下,求函数的单调区间;
(3)若时,恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)的单调递增区间为,单调递减区间为;(Ⅲ)实数的取值范围为.
【解析】
试题此题考查导数求解的综合问题(Ⅰ)应用导数的几何意义,首先求函数的导数,以及在切点处的导数,然后根据,求解参数;(Ⅱ)利用导数求函数的单调性的方法,第一步,根据上一问得到函数的导数,将导数化简,第二步,求解,和的不等式,就是对应函数的单调区间,注意函数的定义域;(Ⅲ)处理此类不等式恒成立的问题,有两种方程,第一种,反解参数,转化为求函数的最小值,同样是求函数的导数,求函数的单调区间,确定最小值;第二种,转化为求,所以方法就是求函数的导数,讨论函数的极值点的存在问题,确定单调性,求函数的最小值大于0.
试题解析:(Ⅰ).
由题意得,即4分
(Ⅱ)时,,定义域为,
当或时,,
当时,,
故的单调递增区间为,单调递减区间为. 8分
(Ⅲ)解法一:由,得在时恒成立,
令,则-10
令,则
所以在为增函数,.
故,故在为增函数.,
所以,即实数的取值范围为. 12分
解法二:
令,则,
(Ⅰ)当,即时,恒成立,
因为,所以在上单调递增,
,即,所以;
(Ⅱ)当,即时,恒成立,
因为,所以在上单调递增,
,即,所以;
(Ⅲ)当,即或时,
方程有两个实数根
若,两个根,
当时,,所以在上单调递增,
则,即,所以;
若,的两个根,
因为,且在是连续不断的函数
所以总存在,使得,不满足题意.
综上,实数的取值范围为.
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【题目】如图所示,用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地,以墙为一边,并用平行于一边的篱笆隔开.
(1)设场地面积为y,垂直于墙的边长为x,试用解析式将y表示成x的函数,并确定这个函数的定义域;
(2)怎样围才能使得场地的面积最大?最大面积是多少?
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为 (为参数)以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的普通方程和极坐标方程;
(2)直线的极坐标方程为,若与的公共点为,且是曲线的中心,求的面积.
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【题目】某教育主管部门到一所中学检查高三年级学生的体质健康情况,从中抽取了名学生的体质测试成绩,得到的频率分布直方图如图1所示,样本中前三组学生的原始成绩按性别分类所得的茎叶图如图2所示.
(Ⅰ)求, , 的值;
(Ⅱ)估计该校高三学生体质测试成绩的平均数和中位数;
(Ⅲ)若从成绩在的学生中随机抽取两人重新进行测试,求至少有一名男生的概率.
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【题目】在空间中,下列命题正确的是
A.如果一个角的两边和另一角的两边分别平行,那么这两个角相等
B.两条异面直线所成的有的范围是
C.如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行
D.如果一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行
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【题目】已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,椭圆与直线相切于点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线: 与椭圆相交于、两点(, 不是长轴端点),且以为直径的圆过椭圆在轴正半轴上的顶点,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.
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