Question

如图，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，AD=AA₁=2，点O是线段BC₁的中点，点M是OD的中点，点E是线段AB上一点，AE＞BE，且A₁E⊥OE．
①求AE的长；
②求二面角A₁-DE-C的正切值；
③求三棱锥M-A₁OE的体积．

Answer 1

分析：①以DA，DC，DD₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AE=m（1，5＜m＜3），确定

A1E

、

EO

的坐标，利用A₁E⊥OE，即可求得结论；
②过点A作AH⊥DE，垂足为H，连接A₁H，则∠A₁HA是二面角A₁-DE-A的平面角，由此可求二面角A₁-DE-C的正切值；
③点M是OD的中点，O∈B₁C，且B₁C∥A₁D，利用等体积，可求三棱锥M-A₁OE的体积．

解答：解：①以DA，DC，DD₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设AE=m（1，5＜m＜3），则A₁（2，0，2），E（2，m，0），O（1，3，1）
∴

A1E

=（0，m，-2），

EO

=（-1，3-m，1）
∵A₁E⊥OE
∴m（3-m）-2=0
∴m²-3m+2=0
∴m=2，即AE=2；
②过点A作AH⊥DE，垂足为H，连接A₁H，则
∵A₁A⊥平面ABCD
∴A₁H⊥DE
∴∠A₁HA是二面角A₁-DE-A的平面角
∵AD=AE=2，∴AH=

2

∴tan∠A₁HA=

2

∵二面角A₁-DE-C是钝角
∴二面角A₁-DE-C的正切值为-

2

；
③∵点M是OD的中点，O∈B₁C，且B₁C∥A₁D，
∴VM-A1OE=

1

2

VD-A1OE=

1

2

VO-A1DE=

1

2

VC-A1DE=

1

2

VA1-CDE=

1

2

×

1

3

×

1

2

×3×2×2=1

点评：本题考查面面角，考查三棱锥体积的计算，考查空间向量知识的运用，属于中档题．