【题目】如图，在四棱锥
中，已知
底面
，
，
，
，
，异面直线
和
所成角等于
.
（1）求直线和平面
所成角的正弦值；
（2）在棱上是否存在一点
，使得平面
与平面
所成锐二面角的正切值为
？若存在，指出点在棱上的位置；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
；（2）存在这样的
点，为棱
上靠近
的三等分点.
【解析】分析：（1）以
为原点，
，
，
所在直线分别为
，
，
轴，建立空间直角坐标系.利用空间向量法能求出直线
和平面
所成角的正弦值.
（2）先假设棱上存在一点，求出平面
与平面
的法向量，进而求得二面角的余弦值，结合其正切值为
，求出E点的位置.
详解：解：（1）如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系.
易知
是等腰直角三角形，∴
.
设
，则
，
，
，
，
.
则
，
，
∵异面直线和所成角等于
，
∴
，即
，解得
，
∵
，
.
设平面的一个法向量为
，
则由
，得
，所以可取
，
∴
.
∴直线和平面所成角的正弦值为.
（2）假设存在，设
，且
，则
，
，设平面
的一个法向量为
，
则由
，得
，
取
，又有平面的法向量
，
由平面与平面所成锐二面角的正切值为，可知余弦值为
，
由
，得
，
解得
或
（不合题意）.
∴存在这样的点，为棱上靠近的三等分点.
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【题目】定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1 ， x2（a＜x1＜x2＜b）满足 
， 
则称函数f（x）是[a，b]上的“中值函数”．已知函数 
是[0，m]上的“中值函数”，则实数m的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图，已知点P在圆柱OO1的底面⊙O上，
分别为⊙O、⊙O1的直径，且
平面
．
（1）求证：
；
（2）若圆柱
的体积
，
①求三棱锥A1﹣APB的体积．
②在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与
所成角的余弦值为
？若存在，请指出M的位置，并证明；若不存在，请说明理由．
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【题目】某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为
（1）求频率分布直方图中
的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在
的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在
的概率.
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【题目】已知椭圆C1： 
（a＞b＞0）的离心率为 
，P（﹣2，1）是C1上一点．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设A，B，Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l交C1于异于P、Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E．证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．
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【题目】如图，已知过原点O的直线与函数
的图象交于A，B两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数
图象交于C，D两点，若
轴，则四边形ABCD的面积为_____．
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【题目】如图所示，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，AB=AA1=2A1B1=2． （Ⅰ）若M为CD中点，求证：AM⊥平面AA1B1B；
（Ⅱ）求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值．
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【题目】如图，已知圆
与
轴的左右交点分别为
，与
轴正半轴的交点为
.
（1）若直线
过点
并且与圆
相切，求直线的方程；
（2）若点
是圆上第一象限内的点，直线
分别与轴交于点
，点
是线段
的中点，直线
，求直线
的斜率.
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