Question

已知等差数列前三项的和为-3，前三项的积为8，
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）若a₂，a₃，a₁成等比数列，求数列{|a_n-10|}的前n项和S_n．

Answer 1

解：（1）设数列的首项为a₁，公差为d，
∵等差数列前三项的和为-3，前三项的积为8，
∴a₁+（a₁+d）+（a₁+2d）=-3，a₁（a₁+d）（a₁+2d）=8
∴a₁=-4，d=3或a₁=2，d=-3
∴a_n=3n-7或a_n=-3n+5…（5分）
（2）∵a₂，a₃，a₁成等比数列，∴a_n=3n-7
∴a_n-10=3n-17…（7分）
记a_n-10=b_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，则
∵b_n=3n-17，∴当n≤5时，b_n＜0；当n≥6时，b_n＞0
①当n≤5时，…（9分）
②当n≥6时，S_n=|b₁|+…+|b_n|=-（b₁+…b₅）+（b₆+…+b_n）=…（12分）
综上可知，…（13分）
分析：（1）设出数列的首项与公差，根据等差数列前三项的和为-3，前三项的积为8，即可求得数列{a_n}的通项公式．
（2）根据a₂，a₃，a₁成等比数列，可得数列{|a_n-10|}的通项，分类讨论，可求数列{|a_n-10|}的前n项和S_n．
点评：本题考查等差数列的通项与求和，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．