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5.$f(x)=\frac{1}{2}({cosx-sinx})({cosx+sinx})+3a({sinx-cosx})+({4a-1})x$在$[{-\frac{π}{2},0}]$上单调递增,则实数a的取值范围为[1,+∞).

分析 求导数,利用函数单调递增,导数大于等于0,即可得出结论.

解答 解:f′(x)=-sin2x+3a(cosx+sinx)+(4a-1),
设t=cosx+sinx=$\sqrt{2}$sin(x+$\frac{π}{4}$)∈[-1,1],y=-t2+3at+4a≥0恒成立,
∴a≥$\frac{{t}^{2}}{3t+4}$=$\frac{1}{4(\frac{1}{t}+\frac{3}{8})^{2}-\frac{9}{16}}$,不等式右边的最大值为1,
∴a≥1.
故答案为[1,+∞).

点评 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,正确求导是关键.

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