Question

点P是双曲线

x2

9

-

y2

16

=1的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）²+y²=4和（x-5）²+y²=1上的点，
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）求|PM|-|PN|的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意及双曲线的标准方程及双曲线的性质可求其解；
（2）由题意及已知圆的方程，利用几何的知识可知当点P与M，F₁三点共线时使得|PM|-|PN|取最大值．

解答：解：（1）双曲线

x2

9

-

y2

16

=1中a²=9，b²=16．
渐近线方程为y=±

b

a

x，
即y=±

4

3

x．
（2）双曲线的两个焦点分别是F₁（-5，0）与F₂（5，0），
这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F₁三点共线以及P与N、F₂三点共线时所求的值最大，
此时|PM|-|PN|=（|PF₁|+2）-（|PF₂|-1）=6+3=9．
|PM|-|PN|的最大值为9．

点评：（1）此问重点考查了双曲线的标准方程及双曲线的性质；
（2）此问重点考查了利用几何知识及点P，M，的位置，利用三角形中两边之差小于第三边，进而求出最值．