Question

已知函数f（x）=x³+3（a-1）x²-12ax+b在x=x₁处取得极大值M，在x=x₂处取得极小值N，
（1）若f（x）的图象在其与y轴的交点处的切线方程是24x-y-10=0，求x₁，x₂，M，N的值
（2）若f（1）＞f（2），且x₂-x₁=4，b=10求f（x）的单调区间及M，N的值．

Answer 1

解：f′（x）=3x²+6（a-1）x-12a=3（x+2a）（x-2）
（1）由题设知f（0）=-10，且f'（0）=24
∴b=-10，a=-2（2分）
∴f（x）=x³-9x²+24x-10 f′（x）=3（x-4）（x-2）
当x∈（-∞，2]时f′（x）＞0，f（x）在（-∞，2]上单调递增，
当x∈[2，4]时f′（x）＜0，f（x）在[2，4]上单调递减，
当x∈[4，+∞）时f′（x）＞0，f（x）在（-∞，2]上单调递增，（2分）
∴当x=2时，f（x）取得极大值10，当x=4时，f（x）取得极小值6
即x₁=2，x₂=4，M=10，N=6（2分）
（2）∵f′（x）=3（x+2a）（x-2）
若-2a＞2，则f（x）在（-∞，2]上递增，与f（1）＞f（2）矛盾
若-2a=2，则f'（x）≥0，f（x）无极值，与题设矛盾，（2分）
∴-2a＜2，f（x）在（-∞，-2a]和[2，+∞）上单调递增，在[-2a，2]上单调递减，
∴x₁=-2a，x₂=2，从而2+2a=4，∴a=1（3分）
故f（x）的单调递增区间是（-∞，-2]和[2，+∞），单调递减区间是[-2，2]f（x）=x³-12x+10，M=26，N=-6（2分）
分析：（1）利用导数为0，通过切线方程是24x-y-10=0，求出a，b，得到函数的表达式，求出x₁，x₂，M，N的值．
（2）求出函数的导数，利用函数的单调性，以及f（1）＞f（2），且x₂-x₁=4，b=10，即可求f（x）的单调区间及M，N的值．
点评：本题是中档题，考查函数的导数与函数的极值最值的关系，注意函数的导数与直线的斜率的关系，考查计算能力．