Question

3．已知函数f（x）=ln（|x|+1）+$\sqrt{{x^2}+1}$，则使得f（x）＞f（2x-1）的x的取值范围是（　　）

• A． $（{\frac{1}{3}，1}）$
• B． $（{-∞，\frac{1}{3}}）∪（{1，+∞}）$
• C． （1，+∞）
• D． $（{-∞，\frac{1}{3}}）$

Answer 1

分析 判断函数f（x）是定义域R上的偶函数，且在x≥0时单调递增，
把不等式f（x）＞f（2x-1）转化为|x|＞|2x-1|，求出解集即可．

解答 解：∵函数f（x）=ln（|x|+1）+$\sqrt{{x^2}+1}$为定义域R上的偶函数，
且在x≥0时，函数单调递增，
∴f（x）＞f（2x-1）等价为f（|x|）＞f（|2x-1|），
即|x|＞|2x-1|，
两边平方得x²＞（2x-1）²，
即3x²-4x+1＜0，
解得$\frac{1}{3}$＜x＜1；
∴使得f（x）＞f（2x-1）的x的取值范围是（$\frac{1}{3}$，1）．
故选：A．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是综合性题目．