Question

已知函数f(x)=sin

x

2

cos

x

2

+

1

2

sin(x+

π

2

)．
（1）写出f（x）的最小正周期以及单调区间；
（2）若函数h(x)=cos(x+

5π

4

)，求函数y=log₂（f（x）•h（x））的最大值，以及使其取得最大值的x的集合．

Answer 1

分析：（1）将函数解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用诱导公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期，由正弦函数的单调区间列出不等式，即可得出函数的单调区间；
（2）将f（x）及h（x）代入f（x）•h（x）中，利用诱导公式化简后，再利用二倍角的正弦函数公式化简，最后利用诱导公式化为一个角的余弦函数，由余弦函数的值域及对数的运算性质求出y的最大值，以及此时x的集合即可．

解答：解：（1）f（x）=

1

2

sinx+

1

2

cosx=

2

2

sin（x+

π

4

），
∵ω=1，∴T=2π；
令-

π

2

+2kπ≤x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，解得：-

3π

4

+2kπ≤x≤

π

4

+2kπ，k∈Z，
令

π

2

+2kπ≤x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，解得：

π

4

+2kπ≤x+

π

4

≤

5π

4

+2kπ，k∈Z，
则f（x）的单调递增区间为[-

3π

4

+2kπ，

π

4

+2kπ]，k∈Z；单调递减区间为[

π

4

+2kπ，

5π

4

+2kπ]，k∈Z；
（2）∵f（x）•h（x）=

2

2

sin（x+

π

4

）cos（x+

5π

4

）
=-

2

2

sin（x+

π

4

）cos（x+

π

4

）=-

2

4

sin（2x+

π

2

）=-

2

4

cos2x，
∴y=log₂（f（x）•h（x））=log₂（-

2

4

cos2x），
∴y_max=log₂

2

4

=-

3

2

，
当cos2x=-1，即x={x|x=

π

2

+kπ，k∈Z}时，y取得最大值．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的单调性，诱导公式，以及余弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．