Question

函数的图象上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点的坐标为．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）求f（x）在处的切线方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意，得，所以T=π，
∴…（1分）
又∵，∴解之得…（3分）
再把代入f（x）=2sin（2x+φ）+1，
可得，所以（k∈Z），
所以，
因为，所以取k=0得…（5分）
综上所述，f（x）的表达式为：…（6分）
（Ⅱ）因为f（x）的导数为…（8分）
∴所求切线的斜率…（9分）
而…（10分）
∴f（x）在处的切线方程为
化简，得…（12分）
分析：（I）根据三角函数周期的公式，算得ω=2．由图象上的最大、最小值的点组成方程组，解出A=2，B=1．最后根据函数的最大值点代入，结合可得φ=，从而得出f（x）的表达式；
（II）由导数的运算公式与法则，得所求切线的斜率，而当x=时函数值，利用直线的点斜式方程列式，化简整理即可得到f（x）在处的切线方程．
点评：本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，要求确定其解析式并求图象上某点处的切线方程，着重考查了三角函数的图象与性质和导数的几何意义等知识，属于中档题．