Question

设a、b为正实数．现有下列命题：
①若a²-b²=1，则a-b＜1；
②若|a³-b³|=1，则|a-b|＜1；
③若|

a

-

b

|=1，则|a-b|＜1；
④若

1

b

-

1

a

=1，则a-b＜1．
其中的真命题有

①②

．（写出所有真命题的编号）

Answer 1

分析：由不等式的基本性质和实数的有关理论及因式分解即可判断出是否正确．

解答：解：①∵a＞0，b＞0，∴a+b＞0，又∵（a-b）（a+b）=1，∴a+b＞1＞a-b＞0，故正确；
②∵a＞0，b＞0，∴a²+ab+b²＞a²-2ab+b²=（a-b）²，
∴1=|a³-b³|=|a-b||a²+ab+b²|＞|a-b|³，∴|a-b|＜1，正确；
③∵|a-b|=(

a

+

b

)|

a

-

b

|，|

a

-

b

|=1，∴|a-b|=|

a

+

b

|＞|

a

-

b

|=1，故③不正确；
④令a=100，b=

100

101

，满足

1

b

-

1

a

=1，但是a-b＞1，因此不正确．
综上可知：真命题是①②．
故答案为①②．

点评：正确理解不等式的基本性质是解题的关键．