Question

某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．
（Ⅰ）求ξ的分布及数学期望；
（Ⅱ）记“函数f（x）=x²-3ξx+1在区间[2，+∞）上单调递增”为事件A，求事件A的概率．

Answer 1

分析：（I）ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，根据客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3．和客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，写出变量的可能取值，根据相互独立事件同时发生的概率写出分布列和期望．
（II）由题意知本题是一个等可能事件的概率，函数f（x）=x²-3ξx+1在区间[2，+∞）上单调递增，根据二次函数的性质，写出函数递增的变量的值，知道只有当变量对应1是成立，得到结果．

解答：解：（I）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”
为事件A₁，A₂，A₃．由已知A₁，A₂，A₃相互独立，P（A₁）=0.4，P（A₂）=0.5，
P（A₃）=0.6．
客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3．
客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，
∴ξ的可能取值为1，3．
P（ξ=3）=P（A₁•A₂•A₃）+P（

.

A1

•

.

A2

•

.

A3

）
=P（A₁）P（A₂）P（A₃）+P（

.

A1

）
=2×0.4×0.5×0.6=0.24，
P（ξ=1）=1-0.24=0.76．
∴ξ的分布列为

∴Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48．
（Ⅱ）∵f（x）=(x-

3

2

ξ)2+1-

9

4

ξ2，
∴函数f（x）=x²-3ξx+1在区间[

3

2

ξ，+∞]上单调递增，
要使f（x）在[2，+∞）上单调递增，
当且仅当

3

2

ξ≤2，即ξ≤

4

3

．
从而P（A）=P（ξ≤

4

3

）=P（ξ=1）=0.76．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查二次函数的性质，是一个综合题目，这种题目可以作为解答题目出现在高考试卷中．