Question

已知函数f（x）=4x³-4ax，当x∈[0，1]时，关于x的不等式|f（x）|＞1的解集为空集，则满足条件的实数a的取值范围是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   [1，+∞）

Answer 1

C
分析：由题意已知函数f（x）=4x³-4ax，当x∈[0，1]时，关于x的不等式|f（x）|＞1的解集为空集，等价于当x∈[0，1]时，关于x的不等式|f（x）|≤1的解集为全集．等价于当x∈[0，1]时，使得|f（x）|≤1恒成立，利用函数解析式特点选择求出函数在定义域下的最值求解即可．
解答：因为函数f（x）=4x³-4ax，当x∈[0，1]时，关于x的不等式|f（x）|＞1的解集为空集?当x∈[0，1]时，使得|f（x）|≤1恒成立，
?x∈[0，1]时，-1≤4x³-4ax≤1恒成立，
?x∈[0，1]时，恒成立，①
当x=0时，由上式可以知道：无论a取何实数都使该式①恒成立；
当x∈（0，1]时，由①可以等价于x∈（0，1]的一切数值均使得恒成立，即
而=（当且仅当x=时取等号）；所以a
对于，令g（x）=，则由此函数解析式可以得到；g（x）在定义域上位单调递增函数，所以此时该函数的最大值为：g（1）=，所以a，
综上要使得恒成立，则即a=．
故选C
点评：此题考查了函数在定义域内恒成立问题的等价转化，还考查了利用均值不等式及函数的单调性求函数在定义域下的最值．